Obsah kruhu — vzorec, kalkulačka a praktické příklady
Obsah kruhu vypočítáte vzorcem S = π × r², kde r je poloměr kruhu a π ≈ 3,14159. Pokud znáte průměr d, použijte vztah S = π × (d/2)². Například kruh o poloměru 5 m má obsah 78,54 m². Níže najdete interaktivní kalkulačku, která výpočet provede za vás — stačí zadat poloměr a zvolit jednotky.
Výpočet obsahu kruhu je jedna z nejčastějších geometrických úloh, se kterou se setkáte při plánování staveb, zahradních úprav i řemeslných prací. Ať už navrhujete kruhový bazén, studnu, květinový záhon nebo počítáte spotřebu betonu na kruhovou desku — vždy potřebujete znát přesnou plochu.
Kalkulačka obsahu kruhu
Zadejte poloměr kruhu a zvolte vstupní a výstupní jednotky. Kalkulačka automaticky převede výsledek do požadovaných plošných jednotek.
Výpočet obsahu kruhu
const unitToMeter = { mm: 0.001, cm: 0.01, dm: 0.1, m: 1, km: 1000 };
const areaConversion = { mm2: 1000000, cm2: 10000, dm2: 100, m2: 1, km2: 0.000001 };
// Převod poloměru na metry radius = radius * unitToMeter[inputUnit];
// Výpočet obsahu v metrech čtverečních let area = pi * Math.pow(radius, 2);
// Převod obsahu na výstupní jednotky area = area * areaConversion[outputUnit];
document.getElementById('result').innerHTML = `Obsah kruhu: ${area.toFixed(2)} ${outputUnit}`;
}
Vzorec pro výpočet obsahu kruhu
Obsah kruhu je plocha ohraničená kružnicí. Základní vzorec zní:
S = π × r²
kde:
- S je obsah (plocha) kruhu v plošných jednotkách (m², cm², mm²),
- π (pí) je Ludolfovo číslo, matematická konstanta s hodnotou přibližně 3,14159265,
- r je poloměr kruhu — vzdálenost od středu ke kružnici.
Výpočet z průměru
Pokud znáte průměr kruhu (d) místo poloměru, stačí ho vydělit dvěma. Průměr je dvojnásobek poloměru (d = 2r), takže vzorec přepíšete jako:
S = π × (d/2)² = π × d² / 4
Praktický tip: Na stavbě měříte průměr snadněji než poloměr — přiložíte svinovací metr přes střed kruhu od jednoho okraje k druhému. Poloměr byste museli hledat přesný střed, což je bez pomůcek obtížnější.
Výpočet z obvodu
Znáte-li pouze obvod kruhu (o), například při měření páskou kolem kruhového sloupu nebo studny, vypočítáte obsah takto:
S = o² / (4 × π)
Obvod kruhu je o = 2 × π × r, takže z něj snadno odvodíte poloměr: r = o / (2π).
Příklady výpočtů z praxe
Kruhový bazén
Plánujete kruhový nadzemní bazén o průměru 3,6 m? Plocha dna činí:
S = π × (3,6/2)² = π × 1,8² = π × 3,24 ≈ 10,18 m²
Na přípravu podkladu (štěrkopísek, geotextilie) tedy potřebujete materiál na minimálně 10,2 m². Počítejte s přesahem geotextilie alespoň 30 cm na každou stranu — reálně tedy objednávejte materiál na plochu cca 13,85 m² (průměr 4,2 m).
Kruhový záhon
Zahradník plánuje kruhový květinový záhon o poloměru 2 m. Obsah záhonu je:
S = π × 2² = π × 4 ≈ 12,57 m²
Pro výsadbu trvalek počítejte přibližně 7–9 kusů na 1 m² (záleží na druhu). Na záhon o ploše 12,57 m² tedy připravte 88–113 sazenic. Substrát na vrstvu 10 cm (0,1 m) vyžaduje objem: 12,57 × 0,1 = 1,26 m³, tedy přibližně 25 pytlů po 50 l.
Betonová kruhová deska (patka)
Stavíte kruhovou betonovou patku pod sloupek pergoly o průměru 60 cm (0,6 m) a výšce 40 cm (0,4 m):
S = π × 0,3² ≈ 0,283 m²
Objem betonu: 0,283 × 0,4 = 0,113 m³ ≈ 113 litrů. Na jednu patku tedy spotřebujete přibližně 3 pytle suchého betonu po 40 kg (vydatnost jednoho pytle je cca 20 l hotové směsi). Použijte beton třídy C 16/20 (dříve B20) dle normy ČSN EN 206.
Studna
Kopaná studna má vnitřní průměr 1 m. Plocha vodní hladiny:
S = π × 0,5² ≈ 0,785 m²
Při hloubce vodního sloupce 3 m je objem vody ve studni: 0,785 × 3 = 2,356 m³ ≈ 2 356 litrů. Skružové studny se staví ze železobetonových skruží dle ČSN 75 4510. Nejčastější průměry skruží jsou 80 cm, 100 cm a 120 cm.
Tabulka obsahu kruhu pro běžné rozměry
Přehled vypočítaných obsahů pro nejčastěji používané průměry ve stavebnictví a zahradnictví:
| Průměr (m) | Poloměr (m) | Obsah (m²) | Typické použití |
|---|---|---|---|
| 0,3 | 0,15 | 0,071 | Sloupcová patka, kanalizační potrubí |
| 0,6 | 0,30 | 0,283 | Betonová patka pod sloupek |
| 1,0 | 0,50 | 0,785 | Studna, okrasná fontána |
| 2,0 | 1,00 | 3,142 | Malý bazén, vířivka |
| 3,0 | 1,50 | 7,069 | Kruhový záhon, trampolína |
| 3,6 | 1,80 | 10,179 | Nadzemní bazén (standard) |
| 4,6 | 2,30 | 16,619 | Větší nadzemní bazén |
| 5,5 | 2,75 | 23,758 | Zapuštěný kruhový bazén |
| 8,0 | 4,00 | 50,265 | Kruhový příjezd, velký záhon |
| 10,0 | 5,00 | 78,540 | Kruhový objezd (malý), zahradní jezírko |
Obsah mezikruží — výpočet plochy mezi dvěma kruhy
Ve stavební praxi často potřebujete spočítat plochu mezikruží — tedy plochu mezi dvěma soustřednými kruhy. Typické příklady: plocha obrubníku kolem studny, zateplení kruhového sloupu, chodník kolem fontány.
Vzorec pro obsah mezikruží:
S = π × (R² − r²)
kde R je vnější poloměr a r je vnitřní poloměr.
Příklad: Chodník šířky 1 m kolem kruhové fontány o průměru 2 m (poloměr fontány r = 1 m, vnější poloměr R = 2 m):
S = π × (2² − 1²) = π × (4 − 1) = π × 3 ≈ 9,42 m²
Na vydláždění takového chodníku zámkovou dlažbou tloušťky 6 cm potřebujete přibližně 9,5 m² dlažby (s 5% prořezem navíc). Při ceně dlažby kolem 350–550 Kč/m² vychází materiál na 3 500–5 500 Kč.
Obsah kruhové výseče a kruhového úseku
Kruhová výseč
Kruhová výseč je část kruhu ohraničená dvěma poloměry a obloukem. Připomíná „krajíc dortu“. Obsah výseče vypočítáte:
S = (α / 360) × π × r²
kde α je středový úhel výseče ve stupních. Při práci s radiány: S = (1/2) × r² × α.
Příklad ze stavby: Navrhujete kruhovou terasu, která tvoří čtvrtkruh (90°) o poloměru 4 m:
S = (90/360) × π × 4² = 0,25 × π × 16 ≈ 12,57 m²
Kruhový úsek
Kruhový úsek je plocha mezi tětivou a obloukem (segment). Využijete ho například při výpočtu plochy arkýře s kruhovým půdorysem. Vzorec:
S = (r²/2) × (α − sin α)
kde α je středový úhel v radiánech.
Jednotky a převody plošných jednotek
Při stavebních výpočtech se setkáte s různými plošnými jednotkami. Správný převod je zásadní — chyba o řád znamená desetinásobně špatnou objednávku materiálu.
| Jednotka | Značka | Převod na m² | Typické použití |
|---|---|---|---|
| milimetr čtvereční | mm² | 0,000001 m² | Průřezy profilů, šrouby |
| centimetr čtvereční | cm² | 0,0001 m² | Průřezy trubek, izolace |
| decimetr čtvereční | dm² | 0,01 m² | Obklady, dlaždice |
| metr čtvereční | m² | 1 m² | Podlahy, stěny, zahrady |
| ar | a | 100 m² | Pozemky |
| hektar | ha | 10 000 m² | Zemědělská půda |
Praktický tip: Nejčastější chyba při výpočtech je záměna poloměru za průměr. Vždy si ověřte, zda měříte od středu (poloměr) nebo přes celý kruh (průměr). Při práci s průměrem nezapomeňte před dosazením do vzorce vydělit dvěma.
Kde se obsah kruhu používá ve stavebnictví
Výpočet obsahu kruhu má v praxi řadu konkrétních využití:
- Základové patky pod sloupy — kruhové patky pod ocelové nebo dřevěné sloupy pergol, přístřešků a altánů. Průměr patky se dimenzuje podle zatížení, typicky 40–80 cm.
- Bazény a vířivky — výpočet plochy dna pro geotextilii, podkladní vrstvu a objem vody. Nadzemní bazény mají nejčastěji průměr 3,0–5,5 m.
- Studny a jímky — výpočet objemu vody, dimenzování čerpadla, plánování výkopu. Vnitřní průměr kopané studny je obvykle 80–120 cm.
- Kruhové prostupy ve stěnách a stropech — při vedení potrubí, vzduchotechniky nebo kabeláže potřebujete znát plochu prostupu pro požární ucpávky dle ČSN 73 0810.
- Kanalizační a vodovodní potrubí — průřez potrubí určuje průtok. Potrubí DN 110 (vnější průměr 110 mm) má vnitřní průměr přibližně 104 mm a průřez 84,95 cm².
- Zateplení kruhových sloupů — plocha izolace na běžný metr sloupu se vypočítá z obvodu, ale spotřeba tepelné izolace na čelo sloupu vyžaduje obsah kruhu.
- Kruhové otvory ve střeše — světlíky, komínová tělesa a průchody antén. Při oplechování počítejte s přesahem min. 150 mm dle ČSN 73 3610.
Běžné chyby při výpočtu obsahu kruhu
Z praxe na stavbě znám několik chyb, které se opakují:
- Záměna poloměru a průměru — nejčastější chyba. Dosadíte-li průměr místo poloměru, výsledek bude 4× větší, než má být. Vždy si ověřte, co měříte.
- Chybné jednotky — pokud zadáte poloměr v centimetrech, výsledek bude v cm², nikoliv v m². Převod: 1 m² = 10 000 cm².
- Zaokrouhlení π — pro hrubé odhady stačí π ≈ 3,14. Pro přesné stavební výpočty používejte alespoň π ≈ 3,14159 nebo kalkulačku.
- Zapomenutý přesah materiálu — objednáváte-li geotextilii, fólii nebo dlažbu na kruhovou plochu, připočítejte 5–15 % navíc na prořez a přesahy. Kruhový tvar generuje více odpadu než obdélník.
- Nerovný terén — na sklonitém pozemku je skutečná plocha povrchu větší než plocha půdorysu. U sklonu 10 % (cca 6°) je rozdíl přibližně 0,5 %, u sklonu 30 % (cca 17°) už 4,4 %.
Matematické vlastnosti kruhu
Kruh je množina všech bodů v rovině, jejichž vzdálenost od středu je menší nebo rovna poloměru r. Kružnice je hranice kruhu — množina bodů se vzdáleností přesně rovnou r. V běžné řeči se oba pojmy zaměňují, ale matematicky je kruh plocha a kružnice čára.
Kruh má ze všech rovinných útvarů největší obsah při daném obvodu. Tato vlastnost se nazývá izoperimetrická nerovnost a má praktický důsledek: kruhový bazén pojme více vody než čtvercový se stejným obvodem stěn, čímž šetříte materiál na konstrukci.
Přehled vzorců kruhu
| Veličina | Vzorec | Příklad (r = 3 m) |
|---|---|---|
| Obsah | S = π × r² | 28,27 m² |
| Obvod | o = 2 × π × r | 18,85 m |
| Průměr | d = 2 × r | 6,00 m |
| Obsah z průměru | S = π × d² / 4 | 28,27 m² |
| Obsah z obvodu | S = o² / (4π) | 28,27 m² |
| Poloměr z obsahu | r = √(S / π) | 3,00 m |
Obsah kruhu a číslo π (pí)
Číslo π je poměr obvodu kružnice k jejímu průměru. Je to iracionální číslo — jeho desetinný rozvoj nikdy nekončí a neopakuje se. Prvních 10 desetinných míst: 3,1415926535.
Pro stavební výpočty si vystačíte s hodnotou 3,1416. Přesnější hodnotu potřebujete pouze v geodézii nebo strojírenství. Kalkulačky a počítače používají π s dostatečnou přesností automaticky.
Tip z praxe: Rychlý odhad bez kalkulačky — obsah kruhu je přibližně 3/4 plochy opsaného čtverce. Pokud máte kruh o průměru 4 m, opsaný čtverec má stranu 4 m a plochu 16 m². Obsah kruhu je přibližně 3/4 × 16 = 12 m² (přesně 12,57 m²). Odchylka je jen 5 %, což pro hrubý odhad stačí.
Časté dotazy (FAQ)
Jak vypočítám obsah kruhu, když znám pouze průměr?
Průměr vydělte dvěma, čímž získáte poloměr. Ten dosadíte do vzorce S = π × r². Případně použijte přímý vzorec S = π × d² / 4. Příklad: kruh o průměru 8 m má obsah π × 64/4 = 50,27 m².
Jaký je rozdíl mezi obsahem kruhu a obvodem kruhu?
Obsah kruhu udává plochu uvnitř kružnice v plošných jednotkách (m², cm²). Obvod kruhu je délka kružnice v délkových jednotkách (m, cm). Obsah počítáte vzorcem S = π × r², obvod vzorcem o = 2 × π × r. V praxi: obsah potřebujete pro výpočet materiálu na plochu (dlažba, geotextilie), obvod pro výpočet materiálu po obvodu (obrubníky, oplocení).
Kolik m² má kruh o průměru 3 metry?
Kruh o průměru 3 m (poloměr 1,5 m) má obsah S = π × 1,5² ≈ 7,07 m². To odpovídá přibližně ploše malé koupelny nebo nadzemního bazénu pro děti.
Jak spočítám obsah kruhu z obvodu?
Použijte vzorec S = o² / (4 × π). Pokud je obvod kruhu například 12 m, obsah bude: 144 / (4 × 3,14159) = 144 / 12,566 ≈ 11,46 m². Tento postup se hodí, když měříte obvod kmenem stromu, studny nebo sloupu pomocí pásma.
Jak přesně narýsovat kruh na stavbě?
Zatlučte kolík do středu budoucího kruhu. Na kolík přivažte provaz o délce rovné požadovanému poloměru. Na konec provazu přivažte druhý kolík nebo tyč a tím opisujte kružnici na zemi. Pro větší přesnost použijte neelastický provaz nebo drát. Na betonový podklad narýsujte kružnici pomocí křídy. U větších průměrů (nad 5 m) kontrolujte, zda je provaz stále napnutý — průhyb zkresluje tvar.
